しっぽの力学

しっぽロボットの力学についての考察です．この考察を改良に活かしていきます．

しっぽの構造
平衡状態での力の釣り合い
変形量
何が問題だったのか
追記

しっぽの構造

現在開発中のしっぽは次の手順で動きます．

プーリーが糸を引っ張る
末端のディスクが引かれる
バネが圧縮される
バネを介して他のディスクに力が伝播する
運動方程式に基づき平衡状態で静止する

平衡状態での力の釣り合い

Phase 5 における力の釣り合いについて考えます．

Disk $i$ は spring $i-1$ と spring $i$ に挟まれています．また，各物理量を次のように定義します．

$f_t$ : 糸の張力
$f_{s, i}$ : spring-i の復元力
$f_c$ : 中心のゴム紐の張力
$\theta_i$ : disk $i$ の disk $i-1$ に対する相対角度

張力の性質上，滑車などに働く張力の大きさは等しくなります．バネは直列に繋がっているため全てのバネの力は等しくなります $(f_{s, i-1}=f_{s, i} )$ ．

したがって，ディスクの軸方向には各々の力(バネ力，ワイヤの張力)が釣り合っており．同様に力のモーメントも釣り合っています．．

一方で，半径方向には次の釣り合いの式が成り立ちます．

0 = f_t \sin \theta_{i-1} + f_t \sin \theta_{i} + f_c \sin \theta_{i-1} + f_c \sin \theta_{i} - (f_{s, i-1} \sin \theta_{i-1} + f_{s,i} \sin \theta_{i})

バネ定数が全て同じだとすると， $\theta_{i} = \theta_{i-1}$ となります． $\theta_{i} \neq 0$ とすると，

0 = f_t + f_c - 2 f_{s,i}

となり，結局のところディスクは半径方向に移動し糸の張力，ゴム紐の張力，バネの復元力が釣り合うところで静止すると言うことになります．

変形量

最終的なしっぽの曲がり量，つまり最初と最後のディスクの相対的な角度 $\Theta$ は次のようになります．

\Theta = \sum^{N}_{k=0} \theta_k = N \theta

ここで $N$ はバネの総数, $\theta = \theta_0 = \cdots = \theta_i= \cdots = \theta_{N-1}$ とします．
内側と外側の糸の距離を $d$ , 全体の糸の送り量を $x$ とすると， $\theta$ は大雑把に考えると次の関係を持ちます．

$\frac{d}{2}\theta = \frac{x}{N}$
したがって，
$\Theta = \frac{2}{d}x$
となります．さらに，直径 $D$ のプーリを $\phi$ [rad]だけ回転させて糸を引いたとすると，次のようになります．